On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), et l’on note \(\mathcal{V}\) l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de \(E\). On se donne un sous-espace vectoriel \(V \in \mathcal{V}\) et l’on définit l’application \[\varphi_V : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{V}(E) & \longrightarrow & \mathcal{V}(E) \\ X & \longmapsto & X + V \end{array} \right.\] Montrer que \[\left(i\right)\quad\varphi_V \textrm{ injective } \Longleftrightarrow \left(ii\right)\quad\varphi_V \textrm{ surjective } \Longleftrightarrow \left(iii\right)\quad V = \{0_E\}\]


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[ID: 1123] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 516
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48
  1. \((iii) \Rightarrow (i)\) et \((iii) \Rightarrow (ii)\) sont claires puisque si \(V = \{0_E\}\), \(\varphi_V = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_{\mathcal{V}(E)}\).

  2. \((i) \Rightarrow (iii)\) : par l’absurde, si \(V \neq \{0_E\}\), il existe \(v \in V\) tel que \(v \neq 0_E\). En prenant \(X_1 = \{0_E\}\) et \(X_2 = \mathop{\mathrm{Vect}}(v)\), on aboutit à une contradiction car \(\varphi\left(X_1\right)=V=\varphi\left(X_2\right)\).

  3. \((ii) \Rightarrow (iii)\) : par l’absurde, si \(V \neq \{0_E\}\), il existe \(v \in V\) avec \(v \neq 0_E\). En posant \(Y = \{0\}\), on ne lui trouve pas d’antécédent par \(\varphi_V\).


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