On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\), et l’on note \(\mathcal{V}(E)\) l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de \(E\). On se donne un sous-espace vectoriel \(V \in \mathcal{V}(E)\) et l’on définit l’application \[\varphi_V : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathcal{V}(E) & \longrightarrow & \mathcal{V}(E) \\ X & \longmapsto & X\cap V \end{array} \right.\] Montrer que \[\left(i\right)\quad \varphi_V \textrm{ injective } \Longleftrightarrow \left(ii\right)\quad\varphi_V \textrm{ surjective } \Longleftrightarrow \left(iii\right)\quad V = E\]


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[ID: 1121] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 414
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48
  1. \((i) \Rightarrow (iii)\) : il suffit de prendre \(X_1=E\) et \(X_2 = V\). Alors comme \(\varphi\left(X_1\right)=\varphi\left(X_2\right)=V\) et que \(\varphi\) est injective, \(X_1=X_2\), c’est-à-dire \(V=E\).

  2. \((iii) \Rightarrow (i)\) : le résultat est clair car dans ce cas \(\varphi_E = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).

  3. \((ii) \Rightarrow (iii)\) : comme \(E \in \mathcal{V}(E)\) et que \(\varphi\) est surjective, il possède un antécédent \(X\in \mathcal{V}(E)\) et l’égalité \(X\cap V=E\) n’est possible que si \(V = E\).

  4. \((ii) \Rightarrow (i)\) : clair car dans ce cas \(\varphi_E = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\).


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