Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). Montrer que \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si \(F\subset G\) ou \(G\subset F\).


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[ID: 1119] [Date de publication: 11 février 2021 18:48] [Catégorie(s): Sous-espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 321
Par emmanuel le 11 février 2021 18:48
  • Supposons que \(F\not\subset G\) et que \(G\not \subset F\). On peut alors trouver deux vecteurs non nuls \(x\in F\setminus G\) et \(y\in G \setminus F\). \(x+y\) ne peut être élément de \(F\cup G\) : sinon on aurait \(x+y\in F\) (ou \(x+y \in G\)) et donc, \(F\) étant stable par combinaison linéaire \(y=x+y-x\) serait élément de \(F\) (on fait le même raisonnement si \(x+y\in G\)) ce qui n’est pas possible par hypothèse. Par conséquent \(F\cup G\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\). La première implication est ainsi prouvée par contraposée.

  • Trivial.


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