On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un sous-espace vectoriel \(A\) de \(E\). On suppose que \(A \neq \{0_E\}\) et \(A\neq E\). Montrer que la partie \(B = (E\setminus A) \cup \{0_E\}\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).


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[ID: 1115] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 667
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44

Par l’absurde, supposons que \(B\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Soient \(a\in A\) et \(b\in B\) deux vecteurs non nuls. Posons \(x=a+b\). Comme \(E\) est un espace vectoriel, \(x\) est élément de \(E\) et comme \(E=A\cup B\), soit \(x\in A\), soit \(x\in B\). Si \(x \in A\) alors \(b=x-a\) est élément de \(A\) car \(A\) est un sous-espace vectoriel. Mais \(A\cap B=\left\{0\right\}\) donc \(b=0\) ce qui est contradictoire avec notre hypothèse de départ. De même, si \(x\in B\) alors \(a=x-b \in B\) et \(a=0\) ce qui est aussi une contradiction. En conclusion, \(B\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(E\).


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