Soient \(F=\left\{\left(x,y,z\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ x+y+z=0\right\}\) et \(G=\left\{\left(s-t,s+t,t\right)\in \mathbb{R}^3 ~|~ s,t\in\mathbb{R}\right\}\).

  1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Déterminer \(F\cap G\).


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[ID: 1113] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 218
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44

Rappelons qu’une partie de \(\mathbb{R}^3\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) si et seulement si c’est le singleton \(\left\{0\right\}\), une droite vectorielle, un plan vectoriel ou \(\mathbb{R}^3\) tout entier.

  1. \(F\) est une partie non vide de \(\mathbb{R}^3\). Si \(\left(x,y,z\right),\left(x',y',z'\right)\in F\) et si \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) alors on vérifie facilement que le triplet \(\alpha \left(x,y,z\right) + \beta \left(x',y',z'\right)\) vérifie l’équation \(x+y+z=0\). \(F\) est donc stable par combinaison linéaire et forme un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) (on aura reconnu que \(F\) est un plan vectoriel de l’espace). On vérifie aussi que \(G\) est un sous-ensemble non vide de \(\mathbb{R}^3\) et si \(\left(s-t,s+t,t\right)\) et \(\left(s'-t',s'+t',t'\right)\) sont deux éléments de \(G\) (avec \(s,s',t,t'\in\mathbb{R}\)) et si alors \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) alors : \[\alpha \left(s-t,s+t,t\right) + \beta \left(s'-t',s'+t',t'\right) = \left( S-T,S+T,T\right)\] avec \(S=\alpha s + \beta s'\) et \(T= \alpha t + \beta t'\) et donc \(G\) est aussi stable par combinaison linéaire (On aura là encore remarqué que \(G\) est un plan vectoriel de l’espace).

  2. Pour déterminer \(F\cap G\) il suffit de résoudre le système \(\begin{cases}x+y+z=0\\x=s-t\\y=s+t\\z=t \end{cases}\) et on obtient comme ensemble solution celui paramétré par  : \(\begin{cases} x=-\dfrac{3}{2}t\\ y=\dfrac{1}{2}t\\ z=t\end{cases}\) (on reconnait l’équation paramétrée d’une droite vectorielle).


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