Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^2\)?

  1. \(F_1=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ 2x+y\geqslant 0\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x^2+y^2=1\right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ y=x\right\}\)

  4. \(F_4=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 ~|~ x-2y=3\right\}\)


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[ID: 1111] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 625
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44

Rappelons qu’une partie de \(\mathbb{R}^2\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\) si et seulement si c’est le singleton \(\left\{0\right\}\), une droite vectorielle ou \(\mathbb{R}^2\) tout entier.

  1. Le couple \(\left(0,1\right)\) est élément de \(F_1\) mais ce n’est pas le cas du couple \(\left(0,-1\right)\) qui lui est pourtant colinéaire. \(F_1\) n’est donc pas stable par combinaison linéaire et ce ne peut être un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).

  2. Le couple nul \(\left(0,0\right)\) n’est pas élément de \(F_2\) et donc \(F_2\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).

  3. On vérifie facilement que \(F_3\) est une partie non vide de \(\mathbb{R}^2\). Si \(\left(x,y\right),\left(x',y'\right)\in F_3\) et si \(\alpha,\beta \in\mathbb{R}\) alors on vérifie facilement que \(\alpha x+\beta x'=\alpha y +\beta y'\) et donc que \(\alpha\left(x,y\right)+\beta \left(x',y'\right)\in F_3\). \(F_3\) est donc un sous-espace vectoriel de \(R^2\).

  4. Le couple nul \(\left(0,0\right)\) n’est pas élément de \(F_4\) et donc \(F_4\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^2\).


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