On note \(E=\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\) l’espace vectoriel des suites réelles. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathscr S\left(\mathbb{R}\right)\)?

  1. \(F_1=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est bornée }\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est monotone }\right\}\)

  3. \(F_3=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est convergente }\right\}\)

  4. \(F_4=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est convergente vers $0$}\right\}\)

  5. \(F_5=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est convergente vers $l$ }\right\}\)\(l\) est un réel fixé non nul.

  6. \(F_6=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est divergente }\right\}\)

  7. \(F_7=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ est géométrique }\right\}\)

  8. \(F_8=\left\{\left(u_n\right)\in \mathscr S\left(\mathbb{R}\right) ~|~ \left(u_n\right) \textrm{ \begin{small}est géométrique de raison $a$\end{small} }\right\}\)\(a\) est un réel fixé.


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[ID: 1109] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 299
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. Une combinaison linéaire de suites bornées étant encore bornée, on vérifie facilement que \(F_1\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. En considérant par exemple les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) de terme général \(u_n=n^2\) et \(v_n=4n-1\) on vérifie que \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont croissantes mais que \(u_n-v_n\) n’est pas monotone (il suffit de calculer les \(4\) premiers termes de cette suite). \(F_2\) n’est donc pas stable par combinaison linéaire et ne forme donc pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. L’ensemble \(F_3\) est clairement une partie non vide de \(E\). Par le théorème d’opérations sur les limites, on sait qu’une combinaison linéaire de suites convergentes est encore convergente. Donc \(F_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. L’ensemble \(F_4\) est une partie non vide de \(E\). Par le théorème d’opérations sur les limites, on sait qu’une combinaison linéaire de suites convergentes vers \(0\) est encore convergente vers \(0\). Donc \(F_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  5. La suite nulle ne converge pas vers \(l\neq 0\) et donc \(F_5\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(E\).

  6. La suite nulle n’est pas divergente et donc n’appartient pas à \(F_6\) qui ne peut du coup être un sous-espace vectoriel de \(E\)..

  7. Une combinaison linéaire de suites géométriques n’est pas forcément géométrique donc \(F_7\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  8. L’ensemble \(F_8\) est une partie non vide de \(E\). On vérifie facilement qu’un combinaison linéaire de suites de raison \(a\) est encore une suite géométrique de raison \(a\) et \(F_8\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).


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