On note \(E=\mathscr F\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right)\) l’ensemble des fonctions définies sur \(\left[0,1\right]\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(E\)?

  1. \(F_1=\left\{f\in\mathcal{C}^{1}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) ~|~ f'\left(0\right) = f'\left(1\right)\right\}\)

  2. \(F_2=\left\{f\in\mathcal{C}^{0}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) ~|~ \forall x\in\left[0,1\right],\quad f\geqslant 0\right\}\).

  3. \(F_3=\left\{f\in\mathcal{C}^{0}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) ~|~\int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=1 \right\}\)

  4. \(F_4=\left\{f\in\mathcal{C}^{0}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) ~|~ \int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\right\}\)


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[ID: 1107] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 962
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. L’ensemble \(F_1\) est clairement un sous-ensemble de \(E\). \(F_1\) est non vide car il contient la fonction nulle. Soient \(f,g \in F_1\), \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). On combinaison linéaire de fonctions \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\left[0,1\right]\) est encore \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\left[0,1\right]\) et \(\left(\alpha f + \beta g\right)'\left(0\right) =\left(\alpha f + \beta g\right)'\left(1\right)\). \(F_1\) est donc bien un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. Une combinaison linéaire de fonctions positives n’est pas forcément positive. Il s’ensuit que \(F_2\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. L’intégrale entre \(0\) et \(1\) de la fonction nulle est nulle. Cette fonction n’est donc pas élément de \(F_3\) et \(F_3\) ne peut être un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. L’ensemble \(F_4\) est clairement une partie non vide de \(E\). De plus, une combinaison linéaire de fonctions d’intégrales nulles est d’intégrale nulle et si \(f,g \in F_4\), \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) alors, par linéarité de l’intégrale : \(\int_{0}^{1} \left(\alpha f + \beta g\right)\left(t\right)\,\textrm{d}t=\alpha\int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t+\beta\int_{0}^{1} g\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\). \(F_4\) est donc bien stable par combinaison linéaire et c’est bien un sous-espace vectoriel de \(E\).


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