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Exercice 1007
Soit \(E=\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) l’espace vectoriel des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Les parties suivantes sont elles des sous-espaces vectoriels de \(\mathscr F\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\).
L’ensemble \(F_1\) des fonctions bornées sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_2\) des fonctions monotones sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_3\) des fonctions qui s’annulent au moins une fois sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_4\) des fonctions qui ne s’annulent jamais sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_5\) des fonctions qui s’annulent une infinité de fois sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_6\) des fonctions qui valent \(0\) en \(1\).
L’ensemble \(F_7\) des fonctions qui valent \(1\) en \(0\).
L’ensemble \(F_8\) des fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_9\) des fonctions paires sur \(\mathbb{R}\).
L’ensemble \(F_{10}\) des fonctions \(T\)-périodiques où \(T\) est un réel strictement positif fixé.
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[ID: 1105] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1007
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 11 février 2021 18:44
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 11 février 2021 18:44
Une combinaison linéaire de fonctions bornées est bornée. \(F_1\) est non vide donc \(F_1\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
On considère les fonctions \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^3 \end{array} \right.\) et \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x \end{array} \right.\). \(f_1\) et \(f_2\) sont monotones (croissantes) mais ce n’est pas le cas de \(f_1-f_2\) comme on peut le vérifier facilement. \(F_2\) n’est donc pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
On considère les fonctions \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x \end{array} \right.\) et \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x-1 \end{array} \right.\). \(f_1\) et \(f_2\) s’annulent toute deux au moins une fois sur \(\mathbb{R}\) mais ce n’est pas le cas de \(f_2-f_1\). Donc \(F_3\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
La fonction nulle n’est pas élément de \(F_4\) donc \(F_4\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
Les fonctions \(f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x \end{array} \right.\) et \(f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sin x -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \end{array} \right.\) s’annulent une infinité de fois sur \(\mathbb{R}\) mais ce n’est pas le cas de \(f_1-f_2={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). \(F_5\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
On montre facilement que \(F_6\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
La fonction nulle n’est pas dans \(F_7\). Ce n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
Une combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable et \(F_8\) est non vide donc \(F_8\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
\(F_9\) est non vide. Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions paires et si \(\alpha,\beta\) sont deux scalaires réels alors, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\left(\alpha f + \beta g\right)\left(-x\right) = \left(\alpha f + \beta g\right)\left(x\right)\] et donc \(F_8\) est stable par combinaison linéaire. On en déduit que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\).
On vérifie facilement que \(F_{10}\) est non vide et qu’une combinaison linéaire de fonctions \(T\)-périodiques est encore \(T\)-périodique. \(F_{10}\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).
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