On considère \(E=\mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) l’ensemble des fonctions continues définies sur \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Indiquer parmi les ensembles suivants lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{C}^{0}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\)

  1. L’ensemble \(F_1\) des fonctions polynomiales de degré \(n\)\(n\in \mathbb{N}\).

  2. L’ensemble \(F_2\) des fonctions polynomiales de degré au plus \(n\)\(n\in \mathbb{N}\) et à coefficients dans \(\mathbb{R}\).

  3. L’ensemble \(F_3\) des fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).

  4. L’ensemble \(F_4\) des fonctions \(f\) vérifiant telles qu’il existe \(k\in \mathbb{R}\) tel que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne.

  5. L’ensemble \(F_5\) des fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f\left(0\right)=1\)

  6. L’ensemble \(F_6\) des fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f\left(0\right)=0\)

  7. L’ensemble \(F_7\) des fonctions \(f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) solutions de \(y'-y=0\).

  8. L’ensemble \(F_8\) des fonctions \(f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) solutions de \(\forall t\in\mathbb{R},\quad y'(t)- y(t)=t\).


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[ID: 1103] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 776
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. L’ensemble \(F_1\) est clairement une partie de \(E\) car toute fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb{R}\). Elle ne contient par contre pas la fonction nulle car le polynôme correspondant est de degré \(-\infty\). Ce n’est donc par un sous-espace vectoriel de \(E\).

  2. L’ensemble \(F_2\) est clairement une partie de \(E\). Il est évident que \(F_2\) est non vide et qu’une combinaison linéaire de polynômes de degré \(\leqslant n\) est encore un polynôme de degré \(\leqslant n\) donc \(F_2\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  3. Toute fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc \(F_3\subset E\). \(F_3\) est par ailleurs non vide et une combinaison linéaire de fonctions dérivables est encore dérivable donc \(F_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. Toute fonction \(k\)-lipschitzienne est continue (et même uniformément continue) sur \(\mathbb{R}\) donc \(F_4\) est bien une partie de \(E\). Si on considère une fonction \(f_1\) \(k_1\)-lipschitzienne et une fonction \(f_2\) \(k_2\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\) avec \(k_1,k_2\in\mathbb{R}_+^*\) et si \(\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\) alors, pour tout \(x,x'\in \mathbb{R}\), on a, par application de l’inégalité triangulaire : \[\left|\left(\alpha_1 f_1 + \alpha_{2}f_2\right)\left(x\right)-\left(\alpha_1 f_1 + \alpha_{2}f_2\right)\left(x'\right) \right| \leqslant\left(\left|\alpha_1\right|k_1 + \left|\alpha_2\right|k_2\right)\left|x-x'\right|\] et donc \(\alpha_1 f_1 + \alpha_{2}f_2\) est \(\left|\alpha_1\right|k_1 + \left|\alpha_2\right|k_2\)-lipschitzienne. \(F_4\) est donc bien un sous-espace vectoriel de \(E\).

  5. La fonction nulle n’est pas élément de \(F_5\) donc \(F_5\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

  6. L’inclusion de \(F_6\) dans \(E\) est évidente car toute fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). \(F_6\) est clairement non vide, la fonction identiquement nulle en est un élément. Par ailleurs, une combinaison linéaire de fonctions dérivables nulles en \(0\) est encore dérivable et nulle en \(0\) donc \(F_6\) est bien un sous-espace vectoriel de \(E\).

  7. \(F_7\) est non vide car la fonction nulle sur \(\mathbb{R}\) est \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et solution de l’équation différentielle \(y'-y=0\). Toute fonction \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc \(F_7\) est bien une partie de \(E\). On vérifie de plus que toute combinaison linéaire de fonctions \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) solutions de l’équation différentielle est encore \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et solution de l’équation différentielle. \(F_7\) est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).

  8. La fonction identiquement nulle n’est pas solution de \(y'- y=t\) donc \(F_8\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).


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