Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur \(\mathbb{R}\)?

  1. \(\left(\mathbb{R}_+^*, \oplus,\otimes\right)\) où : \[\oplus: \left\{ \begin{array}{ccl} {\mathbb{R}_+^*}\times {\mathbb{R}_+^*} & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ \left(a,b\right) & \longmapsto & a\oplus b=ab \end{array} \right.\] \[\otimes: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\times {\mathbb{R}_+^*} & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ \left(\lambda,a\right) & \longmapsto & \lambda\otimes {a} = a^\lambda \end{array} \right.\]

  2. \(\left(R^2, \oplus,\otimes\right)\) où : \[\oplus: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(\left(a,b\right),\left(a',b'\right)\right) & \longmapsto & \left(a,b\right)\oplus\left(a',b'\right)=\left(a+a',b+b'\right) \end{array} \right.\] \[\otimes: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}\times \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(\lambda,\left(a,b\right)\right) & \longmapsto & \lambda\otimes \left(a,b\right) = \left(\lambda a, b\right) \end{array} \right.\]


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[ID: 1101] [Date de publication: 11 février 2021 18:44] [Catégorie(s): Espaces vectoriels ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 409
Par emmanuel le 11 février 2021 18:44
  1. Vérifions les différents axiomes.

    1. \(\oplus\) admet \(1\) comme élément neutre et si \(a,b\in\mathbb{R}_+^*\), il est clair que \(a\oplus b^{-1}\in \mathbb{R}_+^*\). Donc \(\mathbb{R}_+^*\) est un sous-groupe du groupe commutatif \(\left(\mathbb{R}^*,\times\right)\) et \(\left(\mathbb{R}_+^*,\oplus\right)\) admet alors bien une structure de groupe commutatif.

    2. Soient \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\) et \(x,y\in \mathbb{R}_+^*\). On vérifie que :

      1. \(\left(\alpha+\beta\right)\otimes x=x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta=\alpha \otimes x \oplus \beta \otimes x\)

      2. \(\left(\alpha\times \beta\right)\otimes x = x^{\alpha\beta}=\left(x^\beta\right)^\alpha=\alpha \otimes \left(\beta \otimes x\right)\)

      3. \(\alpha\otimes\left(x\oplus y\right)=\left(xy\right)^\alpha=x^\alpha y^\alpha=\alpha\otimes x \oplus \alpha \otimes y\).

      4. \(1\otimes x=x^1=x\).

  2. La loi externe n’est pas distributive. En effet \(\left(1+2\right)\otimes\left(1,2\right)=\left(3,2\right)\) et \(1\otimes\left(1,2\right)\oplus 2\otimes\left(1,2\right)=\left(1,2\right)\oplus\left(2,2\right)=\left(3,4\right)\).


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