1. Montrer que \[\forall n \in \mathbb{N}^*, ~ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} < {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\sqrt n}< \sqrt n - \sqrt{n-1}\]

  2. En déduire la partie entière de \[\dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right)\]


Barre utilisateur

[ID: 1099] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:18] [Catégorie(s): Partie entière ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 172
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:18
  1. On a : \[\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \dfrac{ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right) }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\dfrac{1}{2\sqrt n}.\] On montre de même que : \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\sqrt n}< \sqrt n - \sqrt{n-1}.\]

  2. On en déduit que \[\sum_{i=1}^{10 000} \sqrt{i+1}-\sqrt{i} < \dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right) <\sum_{i=1}^{10 000} \sqrt{i}-\sqrt{i-1} .\] Mais les deux sommes extrêmes sont télescopiques et on trouve : \[\sqrt{10001}-1 < \dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right) <\sqrt{10000}\] Soit aussi : \[99 < \dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right) <100.\] On en déduit que \(\boxed{E\left(\dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right)\right)=99}\)


Documents à télécharger