Soit \(G\) un sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\). L’objet de cet exercice est de montrer que \(G\) est soit discret dans \(\mathbb{R}\) de la forme \(a\mathbb{Z}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

  1. Montrer que \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) est non vide.

  2. En déduire que \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) admet une borne inférieure \(a\geqslant 0\).

  3. On suppose dans cette partie que \(a>0\).

    1. Montrer que \(a\in G\).
      ( ).
      On pourra faire un raisonnement par l’absurde en montrant que si \(a\) n’appartient pas à \(G\) alors il existe des éléments \(t_1\) et \(t_2\) de \(G\) tels que \(a<t_2<t_1<2a\) et en déduire une contradiction.
    2. Prouver que \(G=a\mathbb{Z}\).

  4. On suppose maintenant que \(a=0\). Montrer que \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).


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[ID: 1097] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:17] [Catégorie(s): Rationnels, irrationnels, densité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Sous-groupes de \(\left(\mathbb{R},+\right)\)
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:17
  1. Comme \(G\) n’est pas réduit à \(\left\{0\right\}\), il existe \(x\in G\) tel que \(x\neq 0\). Si \(x\) est positif, il est clair que \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) est non vide. Sinon, si \(x\) est négatif, \(G\) étant un groupe, \(-x\) est élément de \(G\) et est positif. Pas suite, \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) est non vide.

  2. \(G\cap \mathbb{R}_+^*\) est donc une partie non vide de \(\mathbb{R}\). Elle est minorée par \(0\). En appliquant l’axiome de la borne supérieure, elle admet une borne inférieure \(a\geqslant 0\).

    1. Supposons que \(a\) n’est pas élément de \(G\). En appliquant la propriété de caractérisation de la borne inférieure, il existe \(t_1\), \(t_2\in G\) tels que \(0<a<t_2<t_1<2a\). Mais alors \(0<t_1-t_2 <a\) car \(t_1>0\). De plus, \(t_1-t_2\in G\). Donc \(a\) ne peut alors être la borne inférieure de \(G\) ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. \(a\) est donc nécessairement élément de \(G\).

    2. \(a\) étant élément de \(G\), il est clair que \(a\mathbb{Z}\subset G\). Montrons l’inclusion inverse. Soit \(x\in G\). Quitte à considérer \(-x\) plutôt que \(x\), on peut supposer que \(x\) est positif. D’après la propriété d’Archimède, il existe \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(n.a> x\). Notons \(n_0\) le plus petit entier vérifiant cette propriété. On a : \(\left(n_0-1\right).a\leqslant x< n_0 . a\) ce qui amène : \(0\leqslant x-\left(n_0-1\right).a \leqslant a\). Mais alors \(x-\left(n_0-1\right).a\) est un élément positif de \(G\) plus petit que \(a\). Comme \(a\) est la borne inférieure de \(G\), ceci n’est possible que si \(x-\left(n_0-1\right).a=0\) c’est-à-dire que si \(x= \left(n_0-1\right).a\). On prouve ainsi que \(G\subset a\mathbb{Z}\). Finalement : \(G=a\mathbb{Z}\).

  3. Soit \(x<y\in\mathbb{R}\). Il faut montrer que \(\left[x,y\right] \cap G \neq \varnothing\). Comme précédemment, on peut supposer que \(x\) est positif. Posons : \(\varepsilon=y-x>0\). D’après la propriété de caractérisation de la borne inférieure, il existe \(g\in G\) tel que \(0<g\leqslant\varepsilon\). Il existe un couple \(\left(q,r\right)\in\mathbb{N}\times\mathbb{R}_+^*\) tel que : \(y=qg+r\) et \(0\leqslant r< g\). Donc \(x = y-\left(y-x\right)= y-\varepsilon \leqslant y-g \leqslant y-r \leqslant qg \leqslant y\). Donc \(qg\in\left[x,y\right]\) et comme \(qg\in G\), \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).


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