On définit la fonction \[f :\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \left| x \right| & \textrm{ si } x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\ \left| x \right| +1 & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q}\end{cases} \end{array} \right.\] Déterminez \(\inf_{x\in \mathbb{R} } f(x)\).


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[ID: 1093] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:17] [Catégorie(s): Rationnels, irrationnels, densité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 14
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:17

Montrons que \(0\) est la borne inférieure de \(\mathop{\rm Im}f\).

  • \(0\) est clairement un minorant de \(\mathop{\rm Im}f\).

  • Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\), il existe \(x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) tel que \(0<x<\varepsilon\) et \(f\left(x\right)=\left|x\right|=x\). Donc \(x\in \mathop{\rm Im}f\).

On applique alors la propriété de caractérisation de la borne inférieure et \(\boxed{ 0=\inf_{x\in \mathbb{R} } f(x)}\).


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