Soient \(x\) et \(y\) deux rationnels tels que \(\sqrt x\) et \(\sqrt y\) soient irrationnels. Démontrer que \(\sqrt x + \sqrt y\) est irrationnel.
( ).
Introduire la différence: \(\sqrt x - \sqrt y\)

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[ID: 1091] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:17] [Catégorie(s): Rationnels, irrationnels, densité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 790
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:17

On a : \(\sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt y}\). Si \(\sqrt x + \sqrt y\) était rationnel alors il en serait de même de \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\). Mais comme \(\sqrt{x}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{2}\), on aurait que \(\sqrt{x}\) est rationnel.


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