Résoudre dans l’ensemble des nombres réels les équations trigonométriques suivantes:

  1. \(\cos(2x)+\cos(x)=0\)

  2. \(\sin x\cos x=1/4\)

  3. \(\tan\left(3x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5}\right)=\tan\left(x+{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right)\)

  4. \(\cos x-\sqrt 3 \sin x=1\)

  5. \(\cos \left(2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right)=\sin\left(x+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 4}\right)\)

  6. \(\sin x - 1/\sin x=3/2\).

  7. \(\sin x + \sin 3x=0\)

  8. \(3\cos x - \sqrt 3 \sin x=\sqrt 6\)


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[ID: 98] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Équations trigonométriques
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55
  1. \(\cos(2x)+\cos(x)=0 \Longleftrightarrow\cos\left(2x\right) = -\cos \left(x\right) \Longleftrightarrow\cos\left(2x\right) = \cos \left(x+\pi\right) \Longleftrightarrow 2x=x+\pi ~\left[2\pi\right] \textrm{ ou } 2x=-x-\pi ~\left[2\pi\right] \Longleftrightarrow x = \pi ~\left[2\pi\right] \textrm{ ou } x = -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} ~\left[{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 3}\right]\).

  2. D’après les formules de trigonométrie, \(\cos x\sin x=\sin\left(2x\right)/2\) donc \(\cos x\sin x=1/4 \Longleftrightarrow\sin\left(2x\right)=1/2 \Longleftrightarrow 2x=\pi/6 ~\left[2\pi\right] \textrm{ ou } 2x=\pi-\pi/6 ~\left[2\pi\right] \Longleftrightarrow x=\pi/12 ~\left[\pi\right] \quad \textrm{ ou} \quad x=5\pi/12 ~\left[\pi\right]\).

  3. \(\tan\left(3x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5}\right)=\tan\left(x+{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5}\right) \Leftrightarrow 3x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 5} = x+{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 5} ~\left[\pi\right] \Longleftrightarrow 2x = \pi ~\left[\pi\right] \Longleftrightarrow x = 0 ~ \left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\).

  4. \(\cos x-\sqrt 3 \sin x=1 \Longleftrightarrow{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\cos x-{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2} \sin x={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \Longleftrightarrow\cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\cos x- \sin{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\sin x = \cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} \Longleftrightarrow \cos\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} + x\right) = \cos {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} \Longleftrightarrow{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} + x = {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} ~\left[2\pi\right] \quad \textrm{ ou} \quad{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} + x = -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} ~\left[2\pi\right] \Longleftrightarrow x=0 ~\left[2\pi\right] \quad \textrm{ ou} \quad x= -{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 3} ~\left[2\pi\right]\)

  5. \(\cos \left(2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right)=\sin\left(x+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 4}\right) \Longleftrightarrow\cos \left(2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right)=\cos \left( {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}- \left(x+{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 4}\right) \right) \Longleftrightarrow\cos \left(2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right)=\cos \left(-x - {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} \right) \Longleftrightarrow 2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} = -x - {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} ~\left[2\pi\right]\textrm{ ou } 2x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3} = x + {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} ~\left[2\pi\right] \Longleftrightarrow x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 36} ~\left[{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 3}\right] \textrm{ ou } x={\scriptstyle 7\pi\over\scriptstyle 12} ~\left[2\pi\right]\)

  6. On suppose que \(x\neq 0 ~\left[\pi\right]\) On a : \(\sin x - 1/\sin x=3/2 \Longleftrightarrow \sin^2 x-1=3/2 \sin x \Longleftrightarrow\sin^2 x - 3/2\sin x-1=0\). On effectue le changement de variable \(X=\sin x\) et on cherche les racines du trinôme \(X^2-3/2 X-1=0\). On trouve \(2\) et \(-1/2\). Seule la deuxième racine amène des solutions pour notre équation. On résout alors \(\sin x=-1/2\) et on trouve \(x=-\pi/6~\left[2\pi\right]\) et \(x= \pi/6+\pi~\left[2\pi\right]=7\pi/6~\left[2\pi\right]\).

  7. Cette équation se traite comme la première. On trouve \(x=0 ~\left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\)

  8. On multiplie les deux membres de l’équation par \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2\sqrt{3}}\) et on effectue alors des calculs similaires à ceux de la troisième. On trouve \(x={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 12} ~\left[2\pi\right]\) ou \(x=-{\scriptstyle 5\pi\over\scriptstyle 12}~\left[2\pi\right]\).


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