Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), transformer :

  1. \(\cos (3x)\) en un polynôme en \(\cos x\).

  2. \(\sin (3x)\) en un polynôme en \(\sin x\).

  3. \(\cos (4x)\) en un polynôme en \(\cos x\).


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[ID: 96] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:54] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 252
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:54
  1. D’après la formule de Moivre et la formule du binôme : \[\begin{aligned} \cos(3x)+i\sin(3x)&=&\left(\cos x + i\sin x\right)^3\\ &=& \cos^3 x +3i\sin x\cos^2 x-3\cos x\sin^2 x-i\sin^3 x\end{aligned}\] et il vient en identifiant les parties réelles et imaginaires : \(\cos(3x)= \cos^3 x-3\cos x\sin^2 x\) mais \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) donc \(\boxed{\cos 3 x=4\cos^3 x-3\cos x }\).

  2. Il vient aussi \(\sin(3x)=3\sin x\cos^2 x - \sin^3 x\). Comme \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\), on obtient : \(\boxed{\sin(3x)=3\sin x -4 \sin^3 x }\)

  3. On procède de même que dans la première question et on trouve \(\boxed{\cos(4x)=8\cos^4 x - 8 \cos^2 x+1}\).


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