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[ID: 94] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:54] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 921
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 17:54

1. Par la trigonométrie : \(\sin^2 x=\left(1-\cos(2x)\right)/2\)

2. On utilise les formules d’Euler et la formule du binôme : \[\begin{aligned} \cos^4 x&=&\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^4\\ &=&\dfrac{1}{16}\left(e^{i4x}+4e^{i2x}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix}\right)\\ &=&\boxed{\dfrac{1}{8}\left(\cos (4x) +4\cos(2x)+3\right)}.\end{aligned}\]

3. On procède comme avant. On trouve \(\boxed{\sin^4 x= \dfrac{1}{8}\left(\cos (4x) -4\cos(2x)+3\right) }\).

4. De même, on obtient \(\boxed{\sin^5 x=\dfrac{1}{16}\left(\sin(5x) -5\sin(3x)+10 \sin(x)\right)}\).

5. On calcule \[\begin{aligned} \cos x \sin^2 x&=&-\dfrac{1}{2^3}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\left(e^{ix} - e^{-ix}\right)^2\\ &=&-\dfrac{1}{2^3}\left( e^{i3x}+e^{-i3x} -e^{ix}-e^{-ix}\right)\\ &=&\boxed{-\dfrac{1}{4}\left(\cos(3x)-\cos(x)\right)}.\end{aligned}\]

6. De même : \(\cos^2 x \sin^2 x=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 8}\left(-\cos(4x)+1\right)}\)

7. Par la trigonométrie ou en utilisant les formules d’Euler : \(\cos a \cos b=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(\cos\left(a-b\right)+\cos\left(a+b\right)\right)}\).

8. On utilise les formules d’Euler :
   \(\cos a \cos b \cos c=\boxed{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\left(\cos\left(a-b-c\right)+ \cos\left(a-b+c\right) + \cos\left(a+b-c\right) + \cos\left(a+b+c \right)\right)}\).