Simplifier \(\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta }\).


Barre utilisateur

[ID: 3417] [Date de publication: 11 mars 2024 22:47] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\sum 2^{-k}/\cos\theta \hdots \cos(2^k\theta )\)
Par Michel Quercia le 11 mars 2024 22:47

\(S = \dfrac {u-u^{-1}}{u^2 -u^{-2}} + \dfrac {u-u^{-1}}{u^4 -u^{-4}} + \dots + \dfrac {u-u^{-1}}{u^{2^n }-u^{-2^n }}\).

\(\dfrac {u-u^{-1}}{u^2 -u^{-2}} + \dfrac {u-u^{-1}}{u^4 -u^{-4}} = \dfrac {u^3-u^{-3}}{u^4 -u^{-4}}\).

\(\dfrac {u^3-u^{-3}}{u^4 -u^{-4}} + \dfrac {u-u^{-1}}{u^8-u^{-8}} = \dfrac {u^7-u^{-7}}{u^8-u^{-8}}\)

\(S = \dfrac {u^{2^n -1}-u^{-2^n +1}}{u^{2^n }-u^{-2^n }} = \dfrac {\sin((2^n -1)\theta )}{\sin(2^n \theta )}\).


Documents à télécharger

\(\sum 2^{-k}/\cos\theta \hdots \cos(2^k\theta )\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice