Calculer \(\forall\ n\in\mathbb{N}^*,\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p\cos^n\left( {\scriptstyle p\pi\over\scriptstyle n}\right)\).


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[ID: 110] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 284
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55

On a \[\begin{aligned} \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p\cos^n\left( {\scriptstyle p\pi\over\scriptstyle n}\right) &= \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p \left( \dfrac{e^{ip\pi/n}+e^{-ip\pi/n}}{2}\right)^n = \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p \dfrac{e^{ip\pi}}{2^n}\left( 1+e^{-2ip\pi/n}\right)^n \\ &= \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p \dfrac{(-1)^p}{2^n}\left( 1+e^{-2ip\pi/n}\right)^n = \dfrac{1}{2^n} \left( 1+e^{-2ip\pi/n}\right)^n \\ &= \dfrac{1}{2^n}\sum_{p=0}^{n-1} \sum_{k=0}^n \binom nk e^{-2ipk\pi/n} = \dfrac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom nk \sum_{p=0}^{n-1}e^{-2ipk\pi/n}\end{aligned}\] Or \(\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1}e^{-2ipk\pi/n}=0\) pour \(k = 1,2,\ldots,n-1\). Restent \(k=0\) et \(k=n\) pour lesquels \(\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1}e^{-2ipk\pi/n}=n\).

Donc \(\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p\cos^n\left( {\scriptstyle p\pi\over\scriptstyle n}\right) = \dfrac{1}{2^n}\left( n\binom n0 + n\binom nn \right) = \dfrac{n}{2^{n-1}}\).


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