Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), calculer les sommes suivantes :

  1. \(S_1=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\cos kx\)

  2. \(S_2=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\sin kx\)

  3. \(S_3=\sum_{k=0}^n \dfrac{\cos kx}{\cos^k x}\) (avec \(x\neq \pi/2 ~\left[\pi\right]\)).

  4. \(S_4=\sum_{k=0}^n \dfrac{\sin kx}{\cos^k x}\) (avec \(x\neq \pi/2 ~\left[\pi\right]\)).


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[ID: 108] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 145
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55

Soit \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Remarquons que d’après la formule du binôme de Newton et en factorisant par les angles moitiés : \[\begin{aligned} S=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}e^{ikx} = \left(1+e^{ix}\right)^n =e^{i{\scriptstyle nx\over\scriptstyle 2}}\left(e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}} +e^{{\scriptstyle-ix\over\scriptstyle 2}} \right)^n =2^n \cos^n {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2} e^{i{\scriptstyle nx\over\scriptstyle 2}}.\end{aligned}\] Mais \(S_1=\mathop{\rm Re}\left(S\right)=\boxed{2^n \cos^n {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2} \cos {\scriptstyle nx\over\scriptstyle 2}}\).

  2. Et \(S_2=\mathop{\mathrm{Im}}\left(S\right)=\boxed{2^n \cos^n {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2} \sin {\scriptstyle nx\over\scriptstyle 2}}\).

  3. Calculons \[S'=\sum_{k=0}^n \dfrac{e^{ikx}}{\cos^k x} =\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{e^{ix}}{\cos x}\right)^k =\begin{cases} \dfrac{1-\left(\dfrac{e^{ix}}{\cos x}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{e^{ix}}{\cos x}} &\textrm{ si } x\neq 0~\left[\pi\right] \\ n+1 &\textrm{ si } x= 0~\left[\pi\right]\end{cases}\] car on a reconnu une somme géométrique de raison \(\dfrac{e^{ix}}{\cos x}\). Or cette quantité est égale à \(1\) si et seulement si \(x=0~\left[\pi\right]\). Si \(x\neq 0~\left[\pi\right]\) alors \[\begin{split}\dfrac{1-\left(\dfrac{e^{ix}}{\cos x}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{e^{ix}}{\cos x}} = \dfrac{1}{\cos^{n}x}\dfrac{\cos^{n+1}x - e^{i\left(n+1\right)x}}{\cos x-e^{ix}} = \dfrac{1}{\cos^{n}x}\dfrac{\left(\cos^{n+1}x - e^{i\left(n+1\right)x}\right){\left(\cos x-e^{-ix}\right)}}{\cos^2 x - \cos x\left(e^{ix}+e^{-ix} \right) +1}=\\ \dfrac{1}{\cos^{n}x}\dfrac{\left(\cos^{n+1}x - e^{i\left(n+1\right)x}\right){\left(\cos x-e^{-ix}\right)}}{\sin^2x} = \dfrac{1}{\sin^2x\cos^{n}x}\left( \left(\cos^{n+1}x - e^{i\left(n+1\right)x}\right){{i\sin x}} \right)=\\ \dfrac{1}{\sin x\cos^{n}x}\left( \sin\left(n+1\right)x+ i\left(\cos^{n+1}x - \cos\left(n+1\right)x \right) \right)\end{split}\] Comme \(S_3=\mathop{\rm Re}\left(S'\right)\), il vient que \(\boxed{S_3=n+1}\) si \(x=0\left[\pi\right]\) et que \(\boxed{S_3=\dfrac{\sin\left(n+1\right)x}{\sin x\cos^{n}x}}\) sinon.

  4. De même \(\boxed{S_4=\mathop{\mathrm{Im}}\left(S'\right)=0}\) si \(x=0\left[\pi\right]\) et \(\boxed{S_4=\dfrac{ \cos^{n+1}x - \cos\left(n+1\right)x }{\sin x\cos^{n}x}}\) sinon.


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