Calculer la somme \[S = \sum_{k=1}^{4} \cos^2 {\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle 9}\]


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[ID: 106] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 13
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(\cos^2 x= \dfrac{1+\cos 2x}{2}\) et donc, d’après les formules d’Euler : \[S = \sum_{k=1}^{4} \cos^2 {\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle 9}= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\sum_{k=1}^{4}\left(1+\cos {\scriptstyle 2k\pi\over\scriptstyle 9} \right) = 2 + \dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{4} \left(e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 9}} + e^{-{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 9}}\right) = 2+ \dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{8} e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 9}}\] la dernière égalité étant conséquence du fait que \[e^{-{\scriptstyle i2\pi\over\scriptstyle 9}}=e^{{\scriptstyle i2\times 8\times\pi\over\scriptstyle 9}}, \; e^{-{\scriptstyle i 2\times 2\times\pi\over\scriptstyle 9}}=e^{{\scriptstyle i2\times 7\pi\over\scriptstyle 9}},\; e^{-{\scriptstyle i 2\times 3\times\pi\over\scriptstyle 9}}=e^{{\scriptstyle i2\times 6\pi\over\scriptstyle 9}} \quad \textrm{ et} \quad e^{-{\scriptstyle i 2\times 4\times\pi\over\scriptstyle 9}}=e^{{\scriptstyle i2\times 5\times\pi\over\scriptstyle 9}}.\] (Placer les racines neuvièmes de l’unité sur un dessin!). On trouve alors par application du cours : \[S=\dfrac{7}{4}+ \dfrac{1}{4}\sum_{k=0}^{8} e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 9}}=\boxed{\dfrac{7}{4}}.\]


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