On pose \[A=\sin\left( \dfrac{\pi}{12} \right) \quad B= \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) \quad C=\tan \left( \dfrac{\pi}{12} \right)\]

  1. En utilisant la trigonométrie, montrer que \(A\) vérifie une équation du second degré.

  2. Exprimer \(A\) , \(B\) , \(C\) en utilisant des racines carrées.


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[ID: 104] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 231
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55
  1. Pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a la formule \(\cos \left(2x\right)=1-2\sin^2 x\). Appliquée à \(x=\pi/12\), il vient que \(\sin^2\left(\pi/12\right)=\left(1-\cos \left(\pi/6\right)\right)/2\). Donc \(\sin\left(\pi/12\right)\) est une solution de \(X^2-\left(2-\sqrt{3}\right)/4=0\).

  2. On résout cette équation. Ses deux solutions sont \(X=\pm {\scriptstyle\sqrt{2-\sqrt{3}}\over\scriptstyle 2}\). Comme \(\sin \left(\pi/12\right)>0\), il est clair que \(\boxed{\sin\left(\pi/12\right)={\scriptstyle\sqrt{2-\sqrt{3}}\over\scriptstyle 2}}\). Pour calculer \(\cos\left(\pi/12\right)\), on utilise alors la formule fondamentale de la trigonométrie et le fait que ce cosinus est positif. On trouve \[\cos \left(\pi/12\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\pi/12\right)}=\sqrt{1-{\dfrac{{2-\sqrt 3}}{4}}}=\boxed{\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}}.\] Enfin, d’après la définition de la fonction tangente, il vient que : \[\tan\left(\pi/12\right)=\dfrac{\sin\left(\pi/12\right)}{\cos\left(\pi/12\right)}=\boxed{ \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{{2+\sqrt 3}}} }.\]


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