Soient \(n\in\mathbb{N}\) et \(\theta\in\mathbb{R}\setminus 2\pi\mathbb{Z}\).

  1. Montrer que : \[\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}=e^{in{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\,\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\]

  2. En déduire : \[\sum_{k=0}^n \cos \left(k\theta\right) \quad \textrm{ et} \quad\sum_{k=0}^n \sin \left(k\theta\right).\]

  3. En déduire : \[\sum_{k=0}^n k\sin k\theta.\]


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[ID: 102] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 884
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55
  1. Comme \(\theta\in \mathbb{R}\setminus 2\pi\mathbb{Z}\), \(e^{i\theta}\neq 1\) et en reconnaissant la somme des \(n+1\) premiers termes d’une suite géométrique de raison \(e^{i\theta}\), on a : \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^n \left(e^{i\theta}\right)^k =\dfrac{1-e^{\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}} =\dfrac{e^{i{\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}}{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}}\dfrac{e^{ -i{\scriptstyle \left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}} - e^{i{\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}}{e^{-i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}-e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}} =\boxed{e^{in{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\,\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}}\end{aligned}\]

  2. Par ailleurs :\[\sum_{k=0}^n \cos \left(k\theta\right) = \mathop{\rm Re}\left(\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}\right)=\boxed{\cos\left(n{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}}\] \[\sum_{k=0}^n \sin \left(k\theta\right) =\mathop{\rm Im}\left(\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}\right)=\boxed{\sin\left(n{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}}\]

  3. Pour la dernière somme, il suffit de dériver l’égalité \(\sum_{k=0}^n \cos \left(k\theta\right)=\cos\left(n{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\right)\dfrac{\sin {\scriptstyle\left(n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}} = \dfrac{\sin {\scriptstyle\left(2n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}}{2\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}} - \dfrac12\) par rapport à \(\theta\). On trouve alors \[\sum_{k=0}^n k\sin k\theta = \dfrac14\, \dfrac{(2n+1)\cos{\scriptstyle\left(2n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}\sin{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} - \sin{\scriptstyle\left(2n+1\right)\theta\over\scriptstyle 2}\cos{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}{\sin^2 {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}.\]


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