Résoudre les équations trigonométriques suivantes :

  1. \(\cos(2x)+\cos(x)=-1\)

  2. \(\cos^4 x+\sin^4 x=1\)

  3. \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x = -1\)


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[ID: 100] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:55] [Catégorie(s): Application à la trigonométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Équations trigonométriques
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:55
  1. On utilise les formules de duplication : \(\cos(2x)+\cos(x)=-1 \Leftrightarrow 2\cos^2 x -1 + \cos x = -1 \Longleftrightarrow\cos x\left(2\cos x+1\right)=0 \Longleftrightarrow\cos x = 0 \textrm{ ou } \cos x = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \Longleftrightarrow x= {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} ~\left[\pi\right] \textrm{ ou } x = \left(\pi+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right) ~\left[2\pi\right]= {\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 3} ~\left[2\pi\right] \textrm{ ou } x = -{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 3} ~\left[2\pi\right]\).

  2. On utilise les linéarisations effectuées dans l’exercice et on obtient : \(\cos^4 x+\sin^4 x=1 \Longleftrightarrow\cos(4x)= 1 \Longleftrightarrow 4x=0 ~\left[2\pi\right] \Longleftrightarrow x=0\left[\pi/2\right]\).

  3. On utilise les calculs de l’exercice . On sait que \(\cos(2x)=\cos^2 x-1\) et que \(\cos(3x)=4\cos^3 x-3\cos x\), donc \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x = -1 \Longleftrightarrow 2\cos^3 x+\cos^2 x-\cos x=0 \Longleftrightarrow\cos x\left(2\cos^2 x+\cos x-1\right)=0\). Afin de résoudre \(2\cos^2 x+\cos x-1=0\), on pose \(X=\cos x\) et on cherche les racines de \(2X^2+X-1=0\) qui sont \(1/2\) et \(-1\). Donc \(2\cos^2 x+\cos x-1=0\) si et seulement si \(\cos x=1/2 \Longleftrightarrow x=\pm \pi/3 ~\left[2\pi\right]\) ou \(\cos x=-1 \Longleftrightarrow x=\pi ~\left[2\pi\right]\). Finalement les solutions de l’équation initiale sont : \(x=\pi/2 ~\left[\pi\right]\), \(x=\pm \pi/3 ~\left[2\pi\right]\) et \(x=\pi ~\left[2\pi\right]\).


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