On considère une partie \(A \subset \mathbb{R}\) non-vide. On suppose qu’il existe \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \(\forall x \in A\), \(0 < \alpha \leqslant x \leqslant\beta\). Montrer que la partie \(A' = \{ \dfrac{1}{x};~ x\in A\}\) possède une borne supérieure et une borne inférieure et exprimer \(\sup A'\), \(\inf A'\) en fonction de \(\sup A\) et \(\inf A\).


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[ID: 1089] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 189
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

On vérifie que \(A'\) est majorée par \(1/\alpha\) et minorée par \(1/\beta\), donc \(\sup A'\) et \(\inf A'\) existent. Montrons que \(\sup A' = 1/\inf A\).

  • \(\sup A' \leqslant\dfrac{1}{\inf A}\). Soit \(y \in A'\), il existe \(x \in A\) tel que \(y = \dfrac{1}{x}\). Puisque \(x \geqslant\sup A\), \(y \leqslant\dfrac{1}{\inf A}\). Par passage à la borne supérieure, on en déduit que \(\sup A' \leqslant 1/\inf A\).

  • \(\sup A' \geqslant\dfrac{1}{\inf A}\). Montrons que \(\inf A \geqslant\dfrac{1}{\sup A'}\). Soit \(x \in A\). Écrivons \(x = \dfrac{1}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\). Puisque \(1/x \in A'\), on a \(1/x \leqslant\sup A'\) et donc \(x \geqslant\dfrac{1}{\sup A'}\). Par passage à la borne inférieure, \(\inf A \geqslant\dfrac{1}{\sup A'}\).

On montre de la même façon que \(\inf A' = \dfrac{1}{\sup A}\).


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