Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une application croissante et \(A\subset \mathbb{R}\) une partie non-vide majorée.

  1. Montrez que \(\sup f(A) \leqslant f(\sup A)\).

  2. Trouvez un exemple où l’inégalité est stricte.


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[ID: 1087] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 36
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

Il suffit de montrer que \(f(\sup A)\) est un majorant de \(f(A)\). Soit \(y\in f(A)\). Il existe \(x\in A\) tel que \(y=f(x)\). Mais puisque \(x\leqslant\sup A\) et que \(f\) est croissante, \[f(x)\leqslant f(\sup A)\] Par conséquent, \(f(A)\) est majorée, admet donc une borne supérieure et \(\sup f(A) \leqslant f(\sup A)\).


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