Soient deux parties de \(\mathbb{R}\), \(A\subset \mathbb{R}\) et \(B\subset \mathbb{R}\) non-vides et majorées. Montrez que \(\sup(A\cup B)\) existe et l’exprimer en fonction de \(\sup A\) et \(\sup B\).


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[ID: 1085] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 867
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

\(A\cup B\) est une partie de \(\mathbb{R}\) non-vide. Montrons qu’elle est majorée. Puisque \(A\) est majorée, il existe \(M_A\in \mathbb{R}\) tel que \(\forall a \in A\), \(a\leqslant M_A\). De même, il existe \(M_B\in \mathbb{R}\) un majorant de \(B\). Posons alors \(M=\max(M_A,M_B)\). Alors si \(x\in A\cup B\), \(x\leqslant M\). En effet, si \(x\in A\), \(x\leqslant M_A\leqslant M\) et si \(x\in B\), \(x\leqslant M_B\leqslant M\).

Montrons que \(\sup (A\cup B)= \max (\sup A, \sup B)\).

On suppose que \(\sup A \leqslant\sup B\). Montrons alors que \(\sup(A\cup B)=\sup B\). Utilisons pour cela la propriété de caractérisation de la borne supérieure:. \(\sup B\) est un majorant de \(A\cup B\): Soit \(x\in A\cup B\): Si \(x\in B\), alors \(x\leqslant\sup B\). Si \(x\in A\), \(x\leqslant\sup A \leqslant\sup B\).. Soit \(\varepsilon>0\). En utilisant la caractérisation de \(\sup B\), il existe \(x_{\varepsilon}\in B\) tel que \[\sup B - \varepsilon\leqslant x_{\varepsilon} \leqslant\sup B\] Et \(x_{\varepsilon} \in A\cup B\). On montre ainsi que \(\sup B\) est la borne supérieure de \(A\cup B\).

Si \(\sup B \leqslant\sup A\), on montre de la même façon que \(\sup{A\cup B}=\sup A\). En résumé, on a : \(\boxed{\sup (A\cup B)= \max (\sup A, \sup B)}\).


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