Soit un intervalle \(I\subset \mathbb{R}\) et deux applications bornées \(f : I\longrightarrow \mathbb{R}\) , \(g : I\longrightarrow \mathbb{R}\). Montrez que : \[\bigl| \sup_{x\in I} f(x) - \sup_{x\in I} g(x) \bigr| \leqslant\sup_{x\in I} \lvert \, f(x) - g(x) \, \rvert\]
( ).
Montrez que \(\mbox{$\displaystyle \sup_{I}f $} - \mbox{$\displaystyle \sup_{I}g $} \leqslant\mbox{$\displaystyle \sup_{I}\left| f-g\right| $}\) et dans un deuxième temps que \(\mbox{$\displaystyle \sup_{I}g $} - \mbox{$\displaystyle \sup_{I}f $} \leqslant\mbox{$\displaystyle \sup_{I}\left| f-g\right| $}\).

Soit \(x\in I\), écrire \(f(x)= f(x)-g(x) + g(x)\) et majorer \(f(x)\leqslant\left| f(x)-g(x)\right| +g(x)\). Utiliser ensuite le raisonnement de passage à la borne supérieure.

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[ID: 1083] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 179
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

Soit \(x\in I\). Majorons : \[f(x) = f(x)-g(x) + g(x) \leqslant\left| (f(x)-g(x))+g(x)\right| \leqslant \left| f(x)-g(x)\right| + \left| g(x)\right| \leqslant\sup_{I}\left| (f-g)\right| + \sup_{I}\left| g \right|\] Comme le membre de droite est un majorant indépendant de \(x\), par passage à la borne sup, on en déduit que \[\sup_{I} f \leqslant\sup_{I}\left| (f-g)\right| + \sup_{I}\left| g \right|\] En écrivant de même \[g(x)=g(x)-f(x) + f(x) \leqslant\left| f(x)-g(x)\right| + \left| f(x)\right| \leqslant\sup_{I}\left| (f-g)\right| + \sup_{I}\left| f \right|\] on en déduit par passage à la borne supérieure que \[\sup_{I} g \leqslant\sup_{I}\left| (f-g)\right| + \sup_{I}\left| f \right|\] et alors \(\bigl| \sup_{x\in I} f(x) - \sup_{x\in I} g(x) \bigr| \leqslant\sup_{x\in I} \lvert \, f(x) - g(x) \, \rvert\).


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