On considère la partie de \(\mathbb{R}\) suivante : \[A=\left\lbrace (-1)^n+ \dfrac{1}{n}~\mid~n \in \mathbb{N}^{*} \right\rbrace.\] Déterminer \(\sup A\) et \(\inf A\).
( ).
Faire un dessin représentant les points de \(A\).

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[ID: 1081] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 120
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

\[A=\left\lbrace 0, \dfrac{3}{2}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, -\dfrac{4}{5}, \dots \right\rbrace .\] On montre facilement que \[\max A = \sup A = \dfrac{3}{2}.\] En effet, c’est un majorant de \(A\) qui appartient à \(A\).

Montrons que \(\inf A = -1\) en utilisant la propriété de caractérisation de la borne supérieure:

  1. \(-1\) est un minorant de \(A\) : Soit \(n\in \mathbb{N}{*}\), on a \((-1)^n + \dfrac{1}{n} \geqslant(-1)^n \geqslant -1\).

  2. Soit \(\varepsilon>0\). Soit \(n\in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(n\) est impair et \(\dfrac{1}{n} \leqslant\varepsilon\). Posons \(x_{\varepsilon}=(-1)^n + \dfrac{1}{n}=-1+\dfrac{1}{n}\). On a bien \(x_{\varepsilon}\in A\) et \(-1 \leqslant x_{\varepsilon} \leqslant-1+\varepsilon\).


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