On considère la partie de \(\mathbb{R}\) suivante : \[A= \left\lbrace \dfrac{x^2+2}{x^2+1}~\mid~x\in \mathbb{R} \right\rbrace.\] Déterminer, s’ils existent, \(\sup A, \inf A, \min A , \max A\).


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[ID: 1079] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 770
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

Soit \(x\in \mathbb{R}\). On écrit : \[\dfrac{x^2+2}{x^2+1}= 1+ \dfrac{1}{x^2+1}\] Alors on obtient immédiatement que \(A\) est minorée par \(1\). Soit \(\varepsilon>0\). Il existe \(x\in \mathbb{R}\) tel que \(\dfrac{1}{x^2+1} \leqslant\varepsilon\). Il suffit en effet de choisir \(x\geqslant\sqrt{1 / \varepsilon-1}\) si \(\varepsilon \leqslant 1\) et \(x=0\) si \(\varepsilon>1\). Alors \[1\leqslant\dfrac{x^2+2}{x^2+1}\leqslant 1+\varepsilon\] et par conséquent, \(\inf A = 1\). De plus \(A\) ne possède pas de plus petit élément car \(\inf A \not\in A\). En effet, si \(1\in A\) alors il existe \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(x^2+2=x^2+1\) ce qui n’est pas le cas.

Majorons ensuite pour \(x\in \mathbb{R}\), \[1+\dfrac{1}{x^2+1} \leqslant 1+1 \leqslant 2\] (on a minoré le dénominateur car \(x^2\geqslant 0\)). Par conséquent, \(A\) possède une borne supérieure et c’est le plus grand élément de \(A\) (il suffit de prendre \(x = 0\)). En définitive, \(\sup A = \max A = 2\).


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