Soit \(f\) une application croissante de \(\left[0,1\right]\) dans lui-même. On considère l’ensemble \[E=\left\{ x \in [0,1], ~ f(x) \geqslant x \right\}\]

  1. Montrer que \(E\) possède une borne supérieure \(b\).

  2. Montrer que \(f(b)=b\).
    ( ).
    On pourra étudier les deux cas: \(f(b)>b\) et \(f(b)<b\))

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[ID: 1077] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 253
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12
  1. \(E\) est une partie majorée de \(\mathbb{R}\). En effet : \(\forall x\in E, \quad x\leqslant 1\). \(E\) est une partie non vide de \(\mathbb{R}\) : \(f\left(0\right)\geqslant 0\) donc \(0\in E\). Par l’axiome de la borne supérieure, on peut affirmer que \(E\) admet une borne supérieure \(b\).

    • Si alors, comme \(f\) est croissante, \(f\left(f\left(b\right)\right)\geqslant f\left(b\right)\) et donc \(f\left(b\right)\in E\). Mais, comme \(f\left(b\right)>b\) et que \(b\) est la borne supérieure de \(E\), on aboutit à une contradiction. On ne peut donc avoir : \(f(b)>b\).

    • Supposons maintenant que . Posons \(\eta=b-f\left(b\right)>0\). Comme \(b\) est la borne supérieure de \(E\), il existe \(c\in E\) tel que : \(b-\eta < c<b\). Par conséquent : \(f\left(c\right)\geqslant c >b-\eta=b-b+f\left(b\right)=f\left(b\right)\), c’est-à-dire \(f\left(c\right)>f\left(b\right)\). Mais \(f\) est croissante et cette inégalité est impossible.

    Par conséquent \(f\left(b\right)=b\).


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