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[ID: 1077] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur ]

Solution(s)

Solution(s)

Exercice 253
Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur le 25 janvier 2021 22:12

1. \(E\) est une partie majorée de \(\mathbb{R}\). En effet : \(\forall x\in E, \quad x\leqslant 1\). \(E\) est une partie non vide de \(\mathbb{R}\) : \(f\left(0\right)\geqslant 0\) donc \(0\in E\). Par l’axiome de la borne supérieure, on peut affirmer que \(E\) admet une borne supérieure \(b\).

2. • Si alors, comme \(f\) est croissante, \(f\left(f\left(b\right)\right)\geqslant f\left(b\right)\) et donc \(f\left(b\right)\in E\). Mais, comme \(f\left(b\right)>b\) et que \(b\) est la borne supérieure de \(E\), on aboutit à une contradiction. On ne peut donc avoir : \(f(b)>b\).

   • Supposons maintenant que . Posons \(\eta=b-f\left(b\right)>0\). Comme \(b\) est la borne supérieure de \(E\), il existe \(c\in E\) tel que : \(b-\eta < c<b\). Par conséquent : \(f\left(c\right)\geqslant c >b-\eta=b-b+f\left(b\right)=f\left(b\right)\), c’est-à-dire \(f\left(c\right)>f\left(b\right)\). Mais \(f\) est croissante et cette inégalité est impossible.

   Par conséquent \(f\left(b\right)=b\).