Soit \(A\) une partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\). On suppose que la borne supérieure \(M\) de \(A\) vérifie \(M=\sup(A)>0\). Montrer qu’il existe un élément de \(A\) strictement positif.


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[ID: 1073] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:12] [Catégorie(s): Borne supérieure ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 141
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:12

Comme \(M>0\) alors \(M/2>0\). D’après la propriété de caractérisation de la borne supérieure appliquée à \(\varepsilon=M/2\), il existe \(a\in A\) tel que \(a\in\left]M-\varepsilon,M\right[\). Le réel \(a\) est strictement positif.


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