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[ID: 1071] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:10] [Catégorie(s): Inégalités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 56
Par Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces Alain Soyeur le 25 janvier 2021 22:10

1. Pour \(n\geqslant 1\), on a \(n^5-n^4 \geqslant 0\) et \(n^2-1\geqslant 0\) donc \(2n^5 - n^4 + n^2 -1=n^5+\left(n^5-n^4\right)+\left(n^2-1\right)\geqslant n^5\). Par ailleurs, on a \(-n^4+n^2\leqslant 0\) et donc \(2n^5 - n^4 + n^2 -1\leqslant 2n^5\). On s’occupe maintenant du dénominateur. Si \(n\geqslant 1\), \(n-1\geqslant 0\) et \(n^2+n-1\geqslant n^2\). De même, si \(n\geqslant 1\), \(n^2\geqslant n\) et donc \(n^2+n-1\leqslant 2n^2-1\leqslant 2n^2\). En conclusion, si \(n\geqslant 1\) : \[\dfrac{n^3}{2}=\dfrac{n^5}{2n^2}\leqslant\dfrac{2n^5 - n^4 + n^2 -1}{n^2 + n -1}\leqslant\dfrac{2n^5}{n^2}=2n^3.\]

2. On remarque que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=\dfrac{n^2+n-1}{n^4+n^3-1}\). D’après la première question, si \(n\geqslant 1\), on sait que \(n^2\leqslant n^2+n-1\leqslant 2n^2\). On montre facilement que si \(n\geqslant 1\), \(n^4\leqslant n^4+n^3-1 \leqslant 2n^4\) donc il vient pour \(n\geqslant 1\) : \[\dfrac{1}{2n^2}\leqslant\dfrac{n^2+n-1}{n^4+n^3-1} \leqslant\dfrac{2}{n^2}.\]