Montrer que:

  1. \(\forall (a,b)\in \mathbb{R}_+^2, ~ \sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a + \sqrt b\). Étudier dans quel cas on a égalité.

  2. \(\forall (a,b)\in \mathbb{R}^2, ~ \left|\sqrt{\left|a\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\right|\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\).

( ).
Aidez-vous de la preuve de l’inégalité triangulaire page .

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[ID: 1069] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:10] [Catégorie(s): Inégalités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 670
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:10
  1. Soient \((a,b)\in \mathbb{R}_+^2\). On a : \[\begin{aligned} \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b \geqslant a+b \end{aligned}\] et donc \(\sqrt{a+b}\leqslant\sqrt a + \sqrt b\). On a égalité si et seulement si \(\sqrt{ab}=0\), c’est-à-dire si et seulement si \(a\) ou \(b\) est nul.

  2. Soient \((a,b)\in \mathbb{R}^2\). En utilisant la première inégalité, on trouve que : \[\sqrt{\left|a\right|} = \sqrt{\left|a-b +b\right|} \leqslant\sqrt{\left|a-b\right|+\left|b\right|}\leqslant \sqrt{\left|a-b\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\] donc \(\sqrt{\left|a\right|} - \sqrt{\left|b\right|} \leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\). On montre de même que \(\sqrt{\left|b\right|}\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}-\sqrt{\left|a\right|}\) et on en déduit que \(\sqrt{\left|b\right|} - \sqrt{\left|a\right|} \leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\). En résumé : \(\left|\sqrt{\left|a\right|}-\sqrt{\left|b\right|}\right|\leqslant\sqrt{\left|a-b\right|}\)


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