Soient \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), \(n\) réels strictement positifs. Montrer que \[\left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right) \geqslant n^2\]
( ).
On montrera au préalable que: \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*,~ x+\dfrac{1}{x} \geqslant 2\).

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[ID: 1067] [Date de publication: 25 janvier 2021 22:10] [Catégorie(s): Inégalités ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 937
Par emmanuel le 25 janvier 2021 22:10

Soit \(x\in\mathbb{R}_+^*\). On a : \[x+1/x\geqslant 2 \Longleftrightarrow x^2-2x+1\geqslant 0 \Longleftrightarrow\left(x-1\right)^2 \geqslant 0\] et donc on a toujours \(x+1/x\geqslant 2\). Par ailleurs : \[\begin{aligned} \left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right)&=&\sum_{1\leqslant i< j\leqslant n} \left(\dfrac{x_i}{x_j} + \dfrac{x_j}{x_i}\right)+n\\\end{aligned}\] La somme \(\sum_{1\leqslant i< j\leqslant n} ({x_i}/{x_j} + {x_j}/{x_i})\) contient \(n^2/2-n\) termes et d’après l’inégalité précédente, on peut affirmer que chacun de ces termes est \(\geqslant 2\). Il vient donc : \[\begin{aligned} \left( x_1+x_2+...+x_n \right)\left( x_1^{-1}+x_2^{-1}+...+x_n^{-1} \right) \geqslant 2\left(\dfrac{n^2}{2}-n\right)+n=n^2-n\geqslant n^2\end{aligned}\]


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