On considère une vraie ellipse \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} x(t) &=& a\cos t \\ y(t) &=& a\sin t \end{array}\right.\), \(a^2\neq b^2\). Démontrer que quatre points \((M_{i})_{1\leqslant i\leqslant 4}\) sont cocycliques si et seulement si leurs paramètres \((t_{k})_{1\leqslant k\leqslant 4}\) vérifient \(t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}\equiv 0 [2\pi ]\) (passer en \(e^{it}\)).


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[ID: 1063] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 260
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Une intersection se détermine simplement lorsqu’un ensemble est déterminé par une équation cartésienne et l’autre en paramétrique. Ici cela fournit la solution. On considère un cercle d’équation \(x^2 + y^2 + 2\alpha x + 2\beta y + \gamma = 0\) qui coupe l’ellipse en quatre points \(M_i(a\cos t_k, b\sin t_k)\) qui vérifient \(a^2\cos^2t_k + b^2\sin^2t_k + 2a\alpha\cos t_k + 2b\beta\sin t_k + \gamma = 0\). Soit \[a^2\dfrac{e^{2it_k} + 2 + e^{-2it_k}}{4} - b^2\dfrac{e^{2it_k} - 2 + e^{-2it_k}}{4} + 2a\alpha\dfrac{e^{it_k} + e^{-2it_k}}{2} + 2b\beta\dfrac{e^{it_k} - e^{-2it_k}}{2i} + \gamma = 0.\]

En multipliant par \(e^{2it_k}\) : \[\dfrac{a^2 - b^2}{4} e^{4it_k} + (a\alpha-ib\beta) e^{3it_k} + \dfrac{a^2+b^2}{2}e^{2it_k} + (a\alpha+ib\beta) e^{it_k} + \dfrac{a^2 - b^2}{4} = 0.\]

Donc les \(e^{it_k}\) sont des racines distinctes du polynôme : \(\dfrac{a^2 - b^2}{4} X^4 + (a\alpha-ib\beta) X^3 + \dfrac{a^2+b^2}{2} X^2 + (a\alpha+ib\beta) X + \dfrac{a^2 - b^2}{4}\). Le produit des racines vaut d’une part \(\exp\left( i\left( t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}\right) \right)\) et d’autre part \(\dfrac{{\scriptstyle a^2 - b^2\over\scriptstyle 4}}{{\scriptstyle a^2 - b^2\over\scriptstyle 4}} = 1\). D’où le résultat.


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