Résoudre dans \(\mathbb{C}\), \[\begin{cases} z_1 + z_2 + z_3 = 0 \\ \lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1 \\ z_1 z_2 z_3 = 1 \end{cases}.\]


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[ID: 1061] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 129
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Il est clair que les racines cubiques de l’unité \(1\), \(j\) et \(j^2\) sont un triplet de solutions.

Soient trois complexes \((z_1, z_2, z_3)\) vérifiant les conditions. Ils sont racines du polynôme \[P(X) = (X-z_1)(X-z_2)(X-z_3) = X^3 - (z_1+z_2+z_3)X^2 + (z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3) X - z_1z_2z_3 = 0.\] Mais puisque \(\lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1\), et que \(z_1z_2z_3 = 1\), \[z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 = \dfrac{1}{z_3} + \dfrac{1}{z_2} + \dfrac{1}{z_1} = \overline{z_3} + \overline{z_2} + \overline{z_1} = \overline{z_1+z_2+z_3}=0.\] Par conséquent, les complexes \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) sont racines du polynôme \(P(X) = X^3 - 1\). Ce sont donc les racines cubiques de l’unité : \(\{z_1, z_2, z_3\} = \{1, j, j^2\}\).
Sinon, en considérant les points \(M_k\) d’affixes respectives \(z_k\), l’égalité \(z_1 + z_2 + z_3 = 0\) se traduit par \(O\) est le centre de gravité de \(M_1M_2M_3\). Comme on a \(\lvert z_1 \rvert = \lvert z_2 \rvert = \lvert z_3 \rvert = 1\), \(O\) est aussi le centre du cercle circonscrit. Les médianes sont donc aussi médiatrices, donc \(M_1M_2M_3\) est équilatéral. Quitte à changer la numérotation, il existe \(\alpha\) tel que \(z_k = \exp\left( i\alpha +{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle 3}\right)\). La troisième égalité \(z_1 z_2 z_3 = 1\) dit alors que \(\alpha^3=1\) ce qu’il fallait vérifier.


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