Trouver les triplets \((x,y,z)\in \mathbb{C}^{3}\) solutions de \[\begin{cases}x+y+z&=1\\ x^2+y^2+z^2&=9\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=1\end{cases} .\]


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[ID: 1059] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 883
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Exprimons ces trois quantités en fonction de \(\sigma_1=x+y+z\), \(\sigma_2=xy+xz+yz\) et \(\sigma_3=xyz\). On a \(x^2+y^2+z^2=\sigma_1^2-2\sigma_2\) et \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}\). Si \(x,y,z\) sont solutions du système d’équations de l’énoncé, alors on doit avoir \(\sigma_1=1\), \(\sigma_1^2-2\sigma_2=9\) et \(\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}=1\) d’où l’on tire \(\sigma_1=1\), \(\sigma_2=-4\) et \(\sigma_3=-4\). Alors \(x,y,z\) sont racines du polynôme \(X^3-\sigma_1X^2+\sigma_2X-\sigma_3=X^3-X^2-4X+4=(X-1)(X-2)(X+2)\) et donc \(\boxed{\left(x,y,z\right)=\left(1,2,-2\right) }\) à permutation près. On vérifie que réciproquement, ces valeurs, à permutation près, donnent des solutions au système.


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