Trouver \(m\in \mathbb{C}\) pour que le polynôme \[P=X^3+X^2+mX+6 \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\] possède deux racines \(x_1,x_2\) vérifiant \[x_1+x_2=x_1x_2.\] Déterminer alors explicitement ces racines.


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[ID: 1057] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 932
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(P\). En écrivant les relations coefficients-racines, il vient que : \[x_1+x_2+x_3=-1 \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m \quad x_1x_2x_3=-6\] En supposant que \(x_1+x_2=x_1x_2\), de la deuxième et la troisième relation, on tire \[(x_1+x_2)x_3=-6 \Rightarrow x_1x_2=m+6 .\] Mais de la première, on tire aussi \[(-1-x_3)x_3=-6 \Rightarrow x_3^2+x-6= 0\] et par conséquent, l’une des racines de \(P\) doit être égale à \(2\) ou alors à \(-3\). Etudions les deux cas:

  • \(x_3=2\): comme \(P(2)=0\), \(m=-9\) et alors \(P=(X-2)(X^2+3X-3)\). Alors comme \(x_1,x_2\) sont les racines du trinôme \(X^2+3X-3\), \(x_1x_2=-3\) et \(x_1+x_2=-3\) conviennent.

  • \(x_3=-3\): comme \(P(-3)=0\), \(m=-4\) et alors \(P=(X+3)(X^2-2X+2)\) et dans ce cas, \(x_1x_2=2\), \(x_1+x_2=2\) conviennent également.

En conclusion, \(\boxed{m=-9}\) ou \(\boxed{m=-4}\).


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