Soit \(P= X^3+X-1 \in \mathbb{C}_{ }[X]\). On note \(x_k\) avec \(k\in\llbracket 1,3\rrbracket\) ses trois racines complexes.

  1. Vérifier (sans chercher à les calculer) que les trois racines sont distinctes.

  2. Effectuer la division euclidienne de \(X^5\) par \(P\).

  3. En déduire la valeur de \[S=\sum_{k=1}^3 x_k^5 .\]


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[ID: 1055] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 121
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12
  1. Par l’absurde, si \(x\) est une racine double de \(P\), alors \(P(x)=P'(x)=0\). Mais \(P'(x)=0 \Rightarrow 3x^2+1=0 \Rightarrow x=\pm \dfrac{i}{\sqrt{3}}\), qui ne sont pas des racines de \(P\). Donc toutes les racines complexes de \(P\) sont simples.

  2. On trouve que \(X^5=(X^2-1)P(X)+X^2+X-1\).

  3. Si \(x_k\) est une racine de \(P\), alors \(x_k^5=(x_k^2-1)P(x_k)+x_k^2+x_k-1 = x_k^2+x_k-1\). On peut alors exprimer la somme cherchée en fonction des fonctions symétriques élémentaires des racines de \(P\). Si \(\sigma_1=x_1+x_2+x_3=0\) et si \(\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1\) alors \[S=\sum_{k=1}^3 x_k^2 +\sigma_1 -3 = \sigma_1^2-2\sigma_2+\sigma_1-3= -2-3=\boxed{-5} .\]


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