Trouver les racines dans \(\mathbb{C}\) du polynôme \(X^4-X^3-7X^2+X+6\) sachant qu’il possède deux racines dont la somme est \(0\).


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[ID: 1053] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 842
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) les racines de \(P\) et supposons que \(\alpha_1+\alpha_2=0\). Écrivons les relations coefficients racines pour \(P\) : \[\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=1\\ \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3+\alpha_2 \alpha_4+\alpha_3\alpha_4=-7\\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_2\alpha_4+\alpha_1\alpha_3\alpha_4+ \alpha_2\alpha_3\alpha_4=-1\\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4=6 \end{cases}\] De la première, on tire que \(\alpha_3+\alpha_4=1\). La seconde se re-écrit \(\left(\alpha_1+\alpha_2\right)\left(\alpha_3+\alpha_4\right) +\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=-7\) et il vient que \(\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\alpha_4=-7\). La troisième équivaut à \(\alpha_1\alpha_2\left(\alpha_3+\alpha_4\right)+\alpha_3\alpha_4\left(\alpha_1+\alpha_2\right) =-1\) et donc on a \(\alpha_1\alpha_2=-1\). Comme les réels \(\alpha_1,\alpha_2\) satisfont le système \[\begin{cases}\alpha_1+\alpha_2&=0 \\\alpha_1\alpha_2=-1\end{cases}\] ce sont les racines du trinôme \(X^2-1\). Donc on a par exemple \(\alpha_1=1\) et \(\alpha_2=-1\). Il vient alors que \(\alpha_3,\alpha_4\) satisfont le système \[\begin{cases}\alpha_3+\alpha_4&=1 \\\alpha_3\alpha_4=-6\end{cases}\] ce sont les racines du trinôme \(X^2-X-6=\left(X-3\right)\left(X+2\right)\). Donc \(\alpha_3=3\) et \(\alpha_4=-2\). Les racines de \(P\) sont alors : \(\boxed{-2,-1,1,3}\).


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