Soit \(P(X)=X^3+2X^2-7X+\lambda \in \mathbb{C}_{ }[X]\). Trouver \(\lambda\) pour que le carré d’une racine de \(P\) soit égal à la somme des carrés des autres racines.


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[ID: 1049] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 565
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(x_1,x_2,x_3\) les trois racines de \(P\). On suppose, quitte à les renuméroter, que \(x_3^2=x_1^2+x_2^2\). On écrit les relations coefficients racines : \[\sigma_1=x_1+x_2+x_3=-2 \quad\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-7 \quad \sigma_3=x_1x_2x_3=-\lambda .\] Donc \(2x_3^2=\sigma_1^2-2\sigma_2=18\) et \(x_3^2=9\). On trouve alors \(\lambda=-24\) ou \(\lambda=-12\). On vérifie que \(\lambda=-24\) convient. En effet, dans ce cas les racines de \(P\) sont \(x_3=3, x_1=-5/2 + i\sqrt 7/2\) et \(x_2=-5/2 - i\sqrt 7/2\) et on a bien \(x_3^2=x_1^2+x_2^2\). Si \(\lambda=-12\) alors les racines de \(P\) sont \(x_3=-3\) et \(x_1=1/2+\sqrt{17}/2\), \(x_2= 1/2-\sqrt{17}/2\) et on n’a pas \(x_3^2=x_1^2+x_2^2\). Donc seul \(\boxed{\lambda=-24}\) convient.


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