Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(\lambda\) pour que \[P =2X^3-X^2-7X+\lambda\] possède deux racines de somme \(1\).


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[ID: 1047] [Date de publication: 25 janvier 2021 16:12] [Catégorie(s): Relations entre coefficients et racines ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 463
Par emmanuel le 25 janvier 2021 16:12

Notons \(x_1, x_2,x_3\) les racines de \(P\). Supposons, quitte à re-indicier les racines, que \(x_1+x_2=1\). D’après les relations coefficients-racines, on sait que \(x_1+x_2+x_3=\dfrac{1}{2}\). Une condition nécessaire est donc que la troisième vaut \(-\dfrac{1}{2}\). Par conséquent, \(P(-1/2)=0\) d’où \(\lambda=-3\). On vérifie facilement que la réciproque est vraie.


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