1. On considère le polynôme \(P=a_nX^n+\dots+a_0\in\mathbb{Z}\left[X\right]\) un polynôme à coefficients entiers tel que \(a_n\neq 0\) et \(a_0 \neq 0\). On suppose que \(P\) admet une racine rationnelle \(\dfrac{p}{q}\in\mathbb{Q}\)\(p\wedge q=1\). Montrer que \(p~|~a_0\) et que \(q~|~a_n\).

  2. En déduire une factorisation de \(P=2X^{3}-X^{2}-X-3\) dans \(\mathbb{C}\).

  3. Vérifier si le polynôme \(P=X^5+3X^2+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}\left[X\right]\) ?

  4. Avec les notations de la première question, démontrer que \(p-q\mid P(1)\) puis, sans effort, que \(p+q\mid P(1)\).

  5. Factoriser dans \(\mathbb{R}\) le polynôme \(3X^4-19X^3+9X^2-19X+6\).

Voir aussi le paragraphe page de l’annexe .


Barre utilisateur

[ID: 1043] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 247
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58
  1. Comme \(P\left(\dfrac{p}{q}\right)=0\), il vient : \(a_n\dfrac{p^n}{q^n}+\dots+a_1\dfrac{p}{q}+a_0=0\) ce qui amène : \[\quad a_n p^n + a_{n-1}p^{n-1}q+ \dots+ a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n=0.\] Comme \(a_n p^n = -\left(a_{n-1}p^{n-1}q+ \dots+ a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n\right)\), \(q\) divise \(a_n p^n\) et comme \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, \(q\) divise \(a_n\). On montre de même que \(p~|~ a_0\).

  2. Le résultat prouvé dans la question précédente nous invite à vérifier si \({3}/{2}\) est une racine évidente de \(P\), ce qui est le cas. On vérifie alors que \(\boxed{P=(2X-3)\left(X-e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\right) \left(X-e^{-{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\right)}.\)

  3. Si le polynôme \(P\) n’était pas irréductible dans \(\mathbb{Q}\left[X\right]\), il aurait une racine \({p}/{q}\in\mathbb{Q}\) avec \(p\wedge q=1\). Comme \(p| 2\) et \(q|1\), cette racine doit être un des entiers relatifs : \(\pm 2\) ou \(\pm 1\). On vérifie qu’aucun de ces nombres n’est une racine de \(P\). Donc \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}\left[X\right]\)

  4. On écrit \(q^nP(1) = q^n\left( P(1) - P\left(\dfrac{p}{q}\right)\right) = a_n\left(q^n - p^n\right) + a_{n-1}q\left(q^{n-1} - p^{n-1}\right) + \ldots a_kq^{n-k}\left(q^{k-1} - p^{k-1}\right) + \ldots + a_1q^{n-1}(q-p)\).
    Or \(\forall\,k\in\llbracket 1,n\rrbracket, p-q\) divise \(a_kq^{n-k}\left(q^{k-1} - p^{k-1}\right) = a_kq^{n-k}(q-p)\left(q^{k-2}+pq^{k-2}+\ldots+p^{k-2}\right)\) donc il divise leur somme \(q^nP(1)\).
    Maintenant, \(q\) est premier avec \(p-q\) (Bézout, algorithme des différences ou tout ce que vous voudrez) donc \(q^n\) est premier avec \(p-q\). Il est l’heure d’utiliser le lemme de Gauss : \(p-q\) divise \(P(1)\).
    Pour démontrer sans effort que \(p+q\mid P(1)\), on applique le résultat précédent à \(Q = P(-X)\).

  5. Comme il n’existe pas de méthode simple pour factoriser un polynôme de degré \(4\) un jour d’oral, il faut chercher les racines rationnelles : On a \(a_0 = 6\) et \(a_n = 3\). \(P(1) = -20\) et \(P(-1) = 56\).
    (13,7.5) (0,6)(10,6) (2,0)(2,7.5) (0,7.5)(2,6) (2,0)(6,0)(6,3)(4,1.5)(4,3)(2,3) (4,3)(4,4.5)(6,6)(10,6)(10,4.5)(8,4.5)(8,3)(6,3)(6,4.5)

    (4,4.5)(4,6)(6,6) (4,1.5)(4,3)(6,4.5)(6,3) (8,4.5)(10,4.5)(10,3)(8,3) (2,3)(4,3)(4,6)(2,6) (6,0)(10,0)(10,3)(6,3) (4,0)(4,7) (6,0)(6,7) (8,0)(8,7) (10,0)(10,7.5) (0.5,1.5)(10,1.5) (0.5,3)(10,3) (0.5,4.5)(10,4.5) (0,0)(10,0)

    (2,1.5)(8,6) (2,0)(10,6) (4,0)(6,1.5) (8,3)(10,4.5)

    (0.5,6.5)\(q\) (1.5,7)\(p\) (3,6.75)\(1\) (5,6.75)\(2\) (7,6.75)\(3\) (9,6.75)\(6\) (1,5.25)\(1\) (1,3.75)\(-1\) (1,2.25)\(3\) (1,0.75)\(-3\) (2.67,1)\(2\) (3.33,0.5)\(4\) (4.67,1)\(1\) (5.33,0.5)\(5\) (2.67,2.5)\(4\) (3.33,2)\(2\) (4.67,2.5)\(5\) (5.33,2)\(1\) (4.67,4)\(1\) (5.33,3.5)\(3\) (6.67,4)\(2\) (7.33,3.5)\(4\) (8.67,4)\(5\) (9.33,3.5)\(7\) (4.67,5.5)\(3\) (5.33,5)\(1\) (6.67,5.5)\(4\) (7.33,5)\(2\) (8.67,5.5)\(7\) (9.33,5)\(5\)

    (11,4.5)(11,6)(13,6)(13,4.5) (11,4.5)(13,6) (11.67,5.5)\(|p+q|\) (12.33,5)\(|p-q|\) (11,1.5)(11,3)(13,3)(13,1.5) (11,1.5)(13,3) (11.67,2.5)\(56\) (12.33,2)\(20\)
    Les candidats sont donc \(\dfrac13, -\dfrac13, -\dfrac23, 3, -3, 6\). On trouve enfin \(\dfrac13\) et \(6\). Après division par \((3X-1)(X-6)\) on a \(3X^4-19X^3+9X^2-19X+6 =\boxed{ (3X-1)(X-6)(X^2+1)}\).
    Remarque : Lorsqu’on programme la recherche des racines rationnelles, le raffinement avec \(P(1)\) et \(P(-1)\) est inutile. Lorsqu’on travaille à la main, il n’est pas de trop.


Documents à télécharger