Soient deux polynômes \((P, Q) \in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X] ^2\) et \(k \in \mathbb{N}^{*}\).

  1. Montrer que \((X-1) \mid P(X^k) \Rightarrow (X-1) \mid P\).

  2. Montrer que \((X^2 + X + 1) \mid(P(X^3) + XQ(X^3)) \Rightarrow (X-1) \mid P\) et \((X-1) \mid Q\).


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[ID: 1041] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 351
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58
  1. Si \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n\), alors \(P(X^k) = a_0 + a_1 X^k + \cdots + a_n X^{nk}\). Par conséquent, en notant \(Q = P(X^k)\), si \((X-1) \mid Q\), alors \(Q(1) = P(1) = 0\). Donc \((X-1) \mid P\).

  2. En notant \(H = P(X^3) + XQ(X^3)\), puisque \(X^2 + X + 1 = (X-j)(X-j^2)\), on a \(H(j) = H(j^2) = 0\), c’est-à-dire \[\begin{cases} P(1) + j Q(1) &= 0 \\ P(1) = j^2 Q(1) &= 0 \end{cases}.\] On en déduit que \(P(1) = Q(1) = 0\), c’est-à-dire que \((X-1) \mid P\) et que \((X-1) \mid Q\).


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