Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{C}_{ }[X]\) vérifiant: \[P(X^2)+P(X)P(X+1)=0 \quad \left(\star\right).\]


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[ID: 1039] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 387
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Soit \(P\) un polynôme solution de l’équation et \(\alpha\in\mathbb{C}\) une racine de \(P\). En utilisant l’égalité \(\left(\star\right)\), on montre par une récurrence facile que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(P(\alpha^{2^n})=P(\alpha)=0\). Mais \(P\) possède un nombre fini de racines donc il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que \(\alpha^{2^N}=\alpha\) Forcément, \(\alpha=0\) ou alors \(\alpha^{2^N-1}=1\), et alors \(\lvert \alpha \rvert =1\).

Mais l’égalité \(\left(\star\right)\) amène aussi \(P( (\alpha-1)^2)=P(\alpha)P(\alpha -1)=0\), donc \(\left(\alpha-1\right)^2\) est aussi une racine de \(P\) et on doit avoir \(\alpha-1=0\) ou \(\lvert \alpha-1 \rvert =1\).

Les seules racines de module \(1\) sont \(-j\) ou \(-j^2\) (à l’intersection des cercles de rayon \(1\) centrés respectivement en \(0\) et en \(1\)) ou \(1\).

Mais \(-j\) ne peut être une racine de \(P\). En effet, comme \((-j-1)^2=j\), \(j\) devrait aussi être une racine de \(P\) ce qui n’est pas possible car on n’a pas \(\left|j-1\right|=1\). De même comme \((-j^2-1)^2=j^2\), \(-j^2\) ne peut être une racine de \(P\).

En conclusion, les seules racines éventuelles de \(P\) sont \(0\) et \(1\). Donc \(P=\lambda X^k(1-X)^p\)\(k,p\in\mathbb{N}\) et \(\lambda \in\mathbb{C}\).. Comme \(P\) doit vérifier \(\left(\star\right)\), il vient que \(\lambda=-1\), et finalement \(\boxed{P=X^k(1-X)^p}\). La réciproque est immédiate.


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