Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) vérifiant \[P(X^2)=(P(X))^2.\]


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[ID: 1037] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 694
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Supposons \(P\) non-nul. Soit \(\alpha \in \mathbb{C}\) une racine complexe de \(P\). On montre par récurrence que \(\forall k\in \mathbb N\), \(\alpha^{2^k}\) est encore racine de \(P\). Mais puisque \(P\) n’admet qu’un nombre fini de racines, il est nécessaire qu’il existe \(k\in \mathbb{N}^{*}\) tel que \[\alpha^{2^k}=\alpha\] Par conséquent, \(\alpha=0\) ou alors \(\alpha^{2^k-1}=1\), et alors \(\lvert \alpha \rvert =1\). On peut alors noter \(\alpha=e^{i\theta}\) avec \(\theta\in [0,2\pi]\).

Comme \((P(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}))^2=P(e^{i\theta})\), alors \(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\) est encore racine. Par récurrence, on montre que \(\forall k\in \mathbb{N}^{*}\), \(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2^k}}\) est encore racine. La seule possibilité pour qu’il y ait un nombre fini de racines est que \(\theta=0\), c’est-à-dire \(\alpha=1\).

Les seules racines de \(P\) sont donc \(0\) et \(1\). Donc \(P=\lambda X^n(1-X)^p\), \(\lambda\in \mathbb{R}\). Alors \(P(X^2)=P(X)^2 \Rightarrow \lambda X^{2n}(1-X)^p(1+X)^p=\lambda X^{2n}(1-X)^{2p}\) et nécessairement, \[\boxed{ P=X^n }\] On vérifie réciproquement que les polynômes \(X^n\) avec \(n\geqslant 0\) et le polynôme nul conviennent.


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