Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) vérifiant: \[P(X^2)=(X^2+1)P(X).\]
( ).
Trouver des racines de \(P\), les mettre en facteur …

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[ID: 1035] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 519
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Soit \(P\) un tel polynôme. Alors \(P(i^2)=0\), donc \(-1\) est racine de \(P\). Il existe \(Q\in \mathbb{R}_{ }[X]\) tel que \(P(X)=(X+1)Q(X)\), mais alors \((X^2+1)Q(X^2)=(X^2+1)(X+1)Q(X)\), donc \(Q\) vérifie \[Q(X^2)=(X+1)Q(X)\] (on peut simplifier par un polynôme non-nul). Alors \(Q((-1)^2)=0\), et donc \(1\) est racine de \(Q\): il existe \(R\in \mathbb{R}_{ }[X]\) tel que \(Q(X)=(X-1)R(X)\). \(R\) vérifie alors \((X^2-1)R(X^2)=(X+1)(X-1)R(X)\), c’est-à-dire \[R(X^2)=R(X).\] Mais si on introduit le polynôme \(S(X)=R(X)-R(2)\), alors on montre par récurrence que \(\forall n \in \mathbb N\), \(S(2^{2^n})=0\), donc \(S\) possède une infinité de racines, donc \(S=0\) et alors \(R\) est constant. Finalement, il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \[P(X)=\lambda (X+1)(X-1).\] Réciproquement, tout polynôme de cette forme convient.


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