Déterminer tous les polynômes complexes \(P\) tels que \(P(1-2X)=P(X)\).


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[ID: 1033] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 282
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Soit \(z\) une racine de \(P\) dans \(\mathbb{C}\). \(1-2z\) est aussi une racine de \(P\). On s’intéresse donc à la suite \(z_n\) définie par \(z_0 = z\) et \(z_{n+1}=1-2z_n\). L’étude est classique : on résout \(x = 1 - 2x\) ce qui donne \(x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\). Ensuite on regarde la suite auxiliaire \(v_n = z_n - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\). On a \(v_{n+1} = 1 - 2z_n - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} = 1 - 2v_n - {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} = -2v_n\), autrement dit \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(-2\). Elle prend une infinité de valeurs sauf pour \(v_0 = 0\) soit \(z = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\). On a donc deux possibilités,

  • \(P = 0\).

  • \(P = \lambda \left( X - \dfrac13\right)^m\), \(\lambda\neq0\).

Dans le deuxième cas, \(P\) admet \(\lambda\) comme coefficient dominant et \(P(1-2X) = \lambda\left( 1-2X - \dfrac13\right)^m\) admet \((-2)^m\lambda\) comme coefficient dominant. On en déduit \((-2)^m = 1\) et \(m=0\).
Réciproquement, les polynômes constants conviennent bien.


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